Ước lượng kiểu Fermi là cách trả lời câu hỏi không ai đo sẵn bằng cách tách nó thành chuỗi những mảnh nhỏ mà bạn đoán được, ghi rõ từng giả định, nhân lại, rồi kiểm bằng một con đường khác. Đích đến là đúng bậc độ lớn, không phải con số chính xác.
Tên gọi gắn với nhà vật lý Enrico Fermi, người nổi tiếng với thói quen đưa ra ước lượng nhanh mà khá sát bằng vài phép tính trên mép giấy. Câu hỏi kinh điển thường gắn với tên ông là một thành phố lớn có bao nhiêu người lên dây đàn piano. Cái hay của lối nghĩ này không nằm ở đáp số mà ở chỗ biến một câu hỏi mù mờ thành những giả định có thể bàn cãi, sửa và kiểm.
Bài toán Fermi là gì, và nó khác đoán bừa ở đâu?
Đoán bừa là nói ra một con số không có đường đi. Ước lượng Fermi là nói ra con số kèm con đường: con số này đến từ những giả định nào, mỗi giả định lấy từ đâu. Khi ai đó không đồng ý, hai bên chỉ ra đúng giả định cần sửa, thay vì tranh cãi về con số cuối.
Đích của bài toán Fermi là bậc độ lớn: kết quả nằm ở hàng trăm, hàng nghìn hay hàng triệu. Lệch hai lần vẫn là ước lượng tốt; lệch một trăm lần mới là có vấn đề trong giả định. Vì vậy không cần tính chính xác từng bước, làm tròn mạnh tay là được.
Kỹ năng này có ích ở nhiều chỗ: lập kế hoạch mua sắm cho một chuyến đi của lớp, ước lượng thời gian hoàn thành một việc, đọc một con số trên tin tức và biết nó có hợp lý không, hay trả lời câu hỏi tình huống trong một buổi trao đổi nghề nghiệp.
Năm bước giải một bài toán Fermi
Thứ tự dưới đây dùng được cho hầu hết câu hỏi ước lượng. Làm chậm vài lần đầu, viết ra giấy từng bước.
- Viết lại câu hỏi cho rõ đơn vị và phạm vi: đếm cái gì, ở đâu, trong khoảng thời gian nào.
- Tách thành chuỗi phép nhân, mỗi mắt xích là một thứ bạn có cảm giác về độ lớn: số người, số lần mỗi người, lượng mỗi lần.
- Ghi giả định cho từng mắt xích dưới dạng khoảng thấp – cao, kèm một dòng căn cứ: lấy từ trải nghiệm, từ đếm thử, hay chỉ là cảm giác.
- Nhân các mức thấp với nhau, các mức cao với nhau, để có khoảng kết quả. Nếu cần một con số, lấy giá trị giữa hợp lý.
- Kiểm bằng con đường thứ hai, hoặc đo thử một mẫu nhỏ, rồi sửa giả định nào lệch nhất.
Bước ba quan trọng hơn vẻ ngoài của nó. Viết căn cứ cạnh giả định buộc bạn nhận ra chỗ nào mình biết thật, chỗ nào mình đang đoán, và đó là chỗ cần kiểm trước.
Ví dụ làm mẫu: một lớp 40 học sinh dùng bao nhiêu trang vở trong một năm học?
Mọi con số trong bảng là giả định để minh hoạ cách làm, không phải số liệu đo được. Bạn có thể thay bằng giả định của lớp mình.
| Mắt xích | Mức thấp | Mức cao | Căn cứ |
|---|---|---|---|
| Số học sinh | 40 | 40 | Đề bài cho |
| Số trang mỗi em viết mỗi ngày học | 4 | 10 | Nhớ lại vở của chính mình, cả vở ghi lẫn vở bài tập |
| Số ngày học trong năm | 175 | 175 | Giả định khoảng 35 tuần, mỗi tuần 5 ngày; xem khung kế hoạch năm học thật để thay |
| Tổng số trang | 28.000 | 70.000 | Nhân ba mắt xích |
Kết quả: vài chục nghìn trang, chứ không phải vài nghìn hay vài trăm nghìn. Nếu một cuốn vở có khoảng 100 trang, lớp dùng cỡ vài trăm cuốn mỗi năm. Con số này đủ để một ban phụ huynh hình dung quy mô khi bàn chuyện gom vở cũ tái chế, dù không ai đếm từng trang.
Khi mức thấp và mức cao cách nhau rất xa, giá trị giữa hợp lý không phải trung bình cộng mà gần với trung bình nhân. Ví dụ khoảng từ 100 tới 10.000 thì giá trị giữa nên chọn quanh 1.000, vì 1.000 gấp 10 lần mức thấp và bằng một phần mười mức cao.
Hai ví dụ nữa, mỗi cái một kiểu
Một xe bánh mì bán bao nhiêu ổ mỗi sáng?
Giả định xe mở khoảng ba giờ. Một giờ cao điểm có chừng một khách mỗi phút, tức khoảng 60 khách; hai giờ còn lại thưa hơn, chừng một khách mỗi ba phút, tức khoảng 40 khách. Mỗi khách mua một hoặc hai ổ. Cộng lại khoảng 100 khách, nhân 1,5 ổ, ra cỡ 150 ổ.
Kết luận là hàng trăm, không phải hàng nghìn. Muốn kiểm, cách đơn giản là đứng gần đó đếm khách trong mười phút giờ cao điểm. Một lần đếm thật có giá trị hơn mười lần tranh luận về giả định.
Mất bao lâu để đếm tới một triệu?
Giả định đếm mỗi giây một số, không nghỉ. Một ngày có 86.400 giây, nên một triệu giây là khoảng 11,6 ngày. Thực tế những số dài như “chín trăm nghìn bốn trăm hai mươi ba” đọc mất vài giây, và người cần ngủ, nên con số thật phải tính bằng tháng. Ví dụ này cho thấy mắt xích bị bỏ qua, ở đây là độ dài khi đọc số lớn, có thể làm lệch kết quả nhiều lần.
Kiểm một ước lượng bằng con đường thứ hai
Ước lượng đáng tin hơn khi hai con đường độc lập cho kết quả cùng bậc. Với ví dụ trang vở, đường thứ hai là đếm số cuốn vở mỗi em mua đầu năm học và giữa năm, nhân với số trang mỗi cuốn, nhân với 40. Nếu hai đường cùng ra hàng chục nghìn trang, bạn yên tâm.
Nếu hai đường lệch nhau mười lần, đừng lấy trung bình cho xong. Đó là dấu hiệu một giả định đang sai nặng; quay lại bảng, tìm mắt xích có căn cứ yếu nhất và kiểm nó trước.
Một cách kiểm khác là so với giới hạn vật lý hiển nhiên: một xe bánh mì không thể phục vụ nhiều khách hơn số người đi qua con đường đó; một học sinh không thể viết nhiều trang hơn số giờ học cho phép.
Luyện ước lượng mỗi tuần và tự kiểm tiến bộ
Mỗi tuần chọn một câu hỏi gần gũi, viết bảng giả định trong mười phút, rồi tìm cách kiểm bằng đếm thật hoặc tra nguồn chính thức. Vài câu gợi ý:
- Gia đình bạn dùng bao nhiêu lít nước mỗi tuần, rồi đối chiếu với số trên đồng hồ nước.
- Một thư viện trường có bao nhiêu cuốn sách, rồi hỏi cô thủ thư con số thật.
- Bạn đi bộ bao nhiêu bước mỗi ngày, rồi xem bộ đếm bước trên điện thoại.
- Cần bao nhiêu chai nước cho một buổi dã ngoại của khối lớp.
Ghi lại ước lượng và con số thật vào cùng một trang. Sau vài tháng, bạn sẽ thấy khoảng cách giữa hai con số hẹp dần, và quan trọng hơn, bạn nhận ra mình hay đoán cao hay đoán thấp ở loại câu hỏi nào. Với học sinh, đây là bài tập tập thể rất hợp: cả nhóm bàn giả định, không ai bị chấm đúng sai, chỉ so với số thật để cùng sửa.
Lỗi hay gặp khi ước lượng
Chỉ đưa một con số, không có khoảng. Một con số trần che mất mức độ không chắc chắn. Khoảng thấp – cao cho người nghe biết nên tin tới đâu.
Tính chính xác từng bước. Nhân 37 với 173 một cách cẩn thận trong khi giả định chỉ đúng tới hai lần là phí công. Làm tròn mạnh tay.
Quên đơn vị và phạm vi. Mỗi ngày hay mỗi năm, một lớp hay một trường, nhầm một chữ là lệch hàng trăm lần.
Coi ước lượng là số liệu. Khi chuyển kết quả cho người khác, luôn nói đó là ước lượng và kèm các giả định chính.
Câu hỏi thường gặp
Bài toán Fermi có cần đáp số chính xác không?
Không. Mục tiêu là đúng bậc độ lớn, tức biết kết quả cỡ hàng trăm, hàng nghìn hay hàng triệu. Lệch hai, ba lần vẫn được xem là ước lượng tốt.
Làm sao chọn giả định khi không biết gì về chủ đề?
Bắt đầu từ thứ bạn đã trải qua hoặc đếm thử được trong vài phút. Đặt khoảng thấp cao rộng, ghi rõ căn cứ yếu, rồi ưu tiên kiểm giả định đó trước.
Vì sao nên lấy trung bình nhân thay vì trung bình cộng?
Khi mức thấp và mức cao cách nhau nhiều lần, trung bình cộng bị mức cao kéo lệch. Trung bình nhân nằm cách đều hai đầu theo số lần, hợp với ước lượng bậc độ lớn.
Học sinh cấp 2 tập ước lượng Fermi được không?
Được, với câu hỏi gần gũi như số trang vở, số chai nước cho buổi dã ngoại. Nên làm theo nhóm, bàn giả định và so với số thật, không chấm điểm đúng sai.
Ước lượng Fermi có dùng được trong công việc không?
Có, khi cần hình dung quy mô trước khi có số liệu, như lượng hàng cho một sự kiện hay thời gian cho một dự án. Luôn ghi rõ đó là ước lượng kèm giả định.